Информатика -продвинутый курс



         

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ - часть 7


Таким образом, для одномерного уравнения запись u
 означает значение функции и(х, t) в j-м временном слое и в i-м узле пространственной сетки. Вернемся к одномерному уравнению теплопроводности (7.49) и сформулируем простейшую возможную схему его интегрирования - явную схему первого порядка - по времени, используя метод Эйлера, по пространству, используя простейшие аппроксимации (7.56). Шаг по времени обозначим ?t, по координате - ?x. Величина u
 = u (tk+1, xi) находится из разностного уравнения

(7.57)

(k = 0, 1,...; i

= 1, 2, ..., n - 1) для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия (7.51)

где функция f(x) задана и определяет значение температуры при t = 0. Что касается значений u

 и и
  (на концах стержня), то они зависят от типа краевого условия; для случая, когда концы стержня поддерживаются при постоянной температуре, имеем и
 =
 , и
 =
, где
,
 - заданные числа.

Теперь остановимся на вопросе об устойчивости и эффективности обсуждаемого метода. Устойчивость понимается в том же смысле, что и для обыкновенных дифференциальных уравнений, но шансов получить неустойчивый метод здесь гораздо больше. Существуют разностные схемы абсолютно неустойчивые, абсолютно устойчивые и условно устойчивые. Первые при любых, сколь угодно малых, шагах так «раскачивают» начальную погрешность, что приводят к результатам, не имеющим ничего общего с реальностью. Вторые ни при каких шагах не «раскачиваются», хотя, конечно, чем меньше шаг, тем меньше разница между приближенным и точным решениями. Третьи устойчивы при одних комбинациях значений ?x и ?t и неустойчивы при других. Исследование, которого мы проводить не будем, показывает, что разностная схема (7.57) устойчива при

и неустойчива в противном случае.

Эффективность схемы можно представить лишь при сопоставления с другой схемой того же назначения. Прежде всего, под эффективностью понимают возможность относительно быстро получить решение с достаточной точностью. Иногда оказывается не менее важным объем оперативной памяти под массивы, хранение которых неизбежно в данном методе.


Содержание  Назад  Вперед